Диофант и его труды. О подробностях жизни Диофанта Александрийского практически ничего не известно …
Диофант — одна из самых сложных загадок в истории науки. Мы не знаем ни времени, когда он жил, ни каких-либо предшественников, которые работали в той же области. Его дела подобны сияющему огню посреди непроглядной тьмы.
Период времени, в течение которого мог жить Диофант, составляет полтысячелетия! Нижнюю границу провести несложно: в своей книге о многоугольных числах Диофант неоднократно упоминает математика Гипсикла из Александрии, жившего в середине II века до нашей эры.
С другой стороны, в комментарии Теона Александрийского к Альмагесту знаменитого астронома Птолемея есть фрагмент работы Диофанта. Теон жил в середине IV века нашей эры. Это определяет верхний предел этого диапазона. Итак, 500 лет!
Но местонахождение Диофанта хорошо известно — Александрия, центр научной мысли и эллинистического мира. Работа Диофанта — самая загадочная.
Два произведения Диофанта, оба неполные, дошли до нашего времени. Это «Арифметика» (шесть книг из тринадцати) и отрывки из трактата «О многоугольных числах». Но о самом авторе почти ничего не известно. Его «Арифметика» стала поворотным моментом в развитии алгебры и теории чисел. Именно здесь произошел окончательный отказ от геометрической алгебры. В начале своей работы Диофант включил краткое введение, которое стало первым изложением основ алгебры. Он создает поле рациональных чисел и вводит алфавитные символы. Там же были сформулированы правила работы с полиномами и уравнениями. Работы Диофанта были фундаментальными для развития алгебры и теории чисел. Он был тесно связан с возникновением и развитием алгебраической геометрии, которой позже занимались Леонард Эйлер, Карл Якоби и другие авторы.
Чебышев Гаусс Ферма Эйлер Лагранж
«Арифметика» Диофанта — это набор задач (всего 189), каждая из которых имеет решение (или несколько способов решения) и необходимые пояснения. Поэтому на первый взгляд это не кажется теоретическим трудом. Однако внимательное прочтение показывает, что проблемы тщательно отбираются и служат для иллюстрации довольно конкретных и строгих методов. Как было принято в древности, методы не формулируются в общих чертах, а повторяются для решения однотипных задач.
Основная проблема арифметики — поиск положительных рациональных решений неопределенных уравнений. Диофант трактует рациональные числа так же, как натуральные числа, что нетипично для древних математиков. Во-первых, Диофант изучает системы уравнений второго порядка с двумя неизвестными. Он дает метод поиска других решений, если одно из них уже известно. Затем он применяет аналогичные методы к уравнениям высших степеней.
В X веке «Арифметика» была переведена на арабский язык, после чего математики из исламских стран (Абу Камил и другие) продолжили некоторые исследования Диофанта. В Европе интерес к «Арифметике» вырос после того, как Рафаэль Бомбелли обнаружил эту работу в библиотеке Ватикана и опубликовал с ней 143 задачи в своей «Алгебре» (1572 г.). В 1621 году классический латинский перевод «Арифметики» Баше де Мезириака был подробно опубликован. Методы Диофанта оказали большое влияние на Франсуа Виета и Пьера Ферма, хотя в наше время неопределенные уравнения обычно решаются целыми числами, а не рациональными, как это сделал Диофант.
Известны и другие произведения Диофанта. Трактат «О многоугольных числах» не сохранился полностью. В сохранившейся части выводится ряд вспомогательных теорем.методами геометрической алгебры. Сохранились лишь фрагменты произведений Диофанта «Об измерении поверхности» и «Об умножении». «Книга поризма» Диофанта известна лишь несколькими теоремами, используемыми в арифметике.
Палатинская антология содержит сложную эпиграмму, из которой мы можем сделать вывод, что Диофант прожил 84 года: Здесь похоронен Диофант, и надгробная плита сообщит нам, подсчитывая, сколько ему лет было. Через Бога он будет мальчиком шестую часть своей жизни; В двенадцатой части прошла его яркая юность. Мы добавляем седьмую часть его жизни: прежде был очаг Девственной плевы.
Прошло пять лет; И Гименей послал ему сына. Но горе ребенку! Половина лет, прожитых его отцом, прошло, и несчастный скончался. Диофант страдал от такой утраты четыре года и умер, живя ради науки. Скажите, сколько лет Диофант страдал от смерти?
Диофантовы уравнения Диофантовы уравнения — это алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, для которых необходимо найти полное или рациональное решение. Количество неизвестных в уравнениях должно быть не менее двух (если не ограничиваться целыми числами). Диофантовы уравнения обычно имеют много решений, поэтому их называют неопределенными уравнениями. Вот эти уравнения, например: 3x + 5u = 7; x ² + u ² = z²; 3x ³ + 4u ³ = 5 злотых.
Уравнения Диофанта — это задачи, в которых значения неизвестных величин могут быть только целыми числами.
Задача № 1 В клетке находятся кролики и фазаны, у которых вместе 18 ног. Узнайте, сколько их в клетке. Решение. Составим уравнение с двумя неизвестными, где x — количество кроликов, а y — количество фазанов: 4x + 2u = 18 или 2x + y = 9. Выразим y над x: y = 9 — 2x. Затем воспользуемся методом поиска: x 1 2 3 4 y 7 5 3 1 Итак, у проблемы есть четыре решения. Ответ: (1; 7), (2; 5), (3; 3), (4; 1).
Задача № 2 Испытуемые принесли Шахматам в подарок 300 драгоценных камней: в маленьких коробках по 15 драгоценных камней и в больших коробках по 40 драгоценных камней. Сколько было маленьких коробок, если мы знаем, что количество маленьких коробок меньше количества больших коробок? Решение: Обозначьте количество маленьких коробок X, а количество больших коробок Y. А X — это язык алгебры. Язык алгебры — уравнения. «Чтобы решить вопрос о числах или абстрактных соотношениях величин, достаточно перевести задачу с его родного языка на язык алгебры», — писал великий И. Ньютон в своем учебнике алгебры «Общая арифметика». Алгебраический язык относится к языку уравнений и неравенств. Таким образом решается большинство текстовых задач. Рассмотрим пример того, как делается такой перевод с родного языка на алгебраический.
Жизнь Диофанта. В III-IV вв. Н.э. знаменитый греческий математик Диофант жил в Александрии. Наше внимание привлекли шесть из тринадцати книг «Арифметики», написанных Диофантом. История сохранила для нас несколько биографий выдающегося античного математика Диофанта. Все, что о нем известно, исходит из надписи на его могиле, надписи в виде математической задачи. Надпись указывает на продолжительность жизни математика, позже названного «отцом греческой алгебры». Эта надпись в переводе, имитирующем древний стих, гласит:
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Принял ли Диофант смерть? »
Решив уравнение и обнаружив, что x = 84, мы узнаем следующие особенности биографии Диофанта: он женился в 21 год, стал отцом в 38 лет, потерял сына в 80 и умер в 84 года. Тем не менее, попробуйте проверить на себе.
Решение уравнений часто несложно; сложнее составлять уравнения из проблемных данных. Искусство составления уравнений сводится к умению переводить «с родного языка на алгебраический».
